Андрей Смирнов
Время чтения: ~15 мин.
Просмотров: 4

Закон фурье

Закон теплопроводности Фурье[ | код]

В установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

q→=−ϰgrad(T),{\displaystyle {\vec {q}}=-\varkappa \,\mathrm {grad} (T),}

где q→{\displaystyle {\vec {q}}} — вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, ϰ{\displaystyle \varkappa } — коэффициент теплопроводности (удельная теплопроводность), T{\displaystyle T} — температура. Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору grad(T){\displaystyle \mathrm {grad} (T)} (то есть в сторону скорейшего убывания температуры). Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идёт о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

P=−ϰSΔTl,{\displaystyle P=-\varkappa {\frac {S\Delta T}{l}},} [Вт/(м·К) · (м2·К)/м = Вт/(м·К) · (м·К) = Вт]

где P{\displaystyle P} — полная мощность тепловых потерь, S{\displaystyle S} — площадь сечения параллелепипеда, ΔT{\displaystyle \Delta T} — перепад температур граней, l{\displaystyle l} — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями.

Связь с электропроводностью | код

Связь коэффициента теплопроводности ϰ{\displaystyle \varkappa } с удельной электрической проводимостью σ{\displaystyle \sigma } в металлах устанавливает закон Видемана — Франца:

ϰσ=π23(ke)2T,{\displaystyle {\frac {\varkappa }{\sigma }}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k}{e}}\right)^{2}T,}
где k{\displaystyle k} — постоянная Больцмана,
e{\displaystyle e} — заряд электрона,
T{\displaystyle T} — абсолютная температура.

Коэффициент теплопроводности газов | код

В газах коэффициент теплопроводности может быть найден по приближённой формуле

ϰ∼13ρcvλv¯,{\displaystyle \varkappa \sim {\frac {1}{3}}\rho c_{v}\lambda {\bar {v}},}

где ρ{\displaystyle \rho } — плотность газа, cv{\displaystyle c_{v}} — удельная теплоёмкость при постоянном объёме, λ{\displaystyle \lambda } — средняя длина свободного пробега молекул газа, v¯{\displaystyle {\bar {v}}} — средняя тепловая скорость. Эта же формула может быть записана как

ϰ=ik3π32d2RTμ,{\displaystyle \varkappa ={\frac {ik}{3\pi ^{3/2}d^{2}}}{\sqrt {\frac {RT}{\mu }}},}

где i{\displaystyle i} — сумма поступательных и вращательных степеней свободы молекул (для двухатомного газа i=5{\displaystyle i=5}, для одноатомного i=3{\displaystyle i=3}), k{\displaystyle k} — постоянная Больцмана, μ{\displaystyle \mu } — молярная масса, T{\displaystyle T} — абсолютная температура, d{\displaystyle d} — эффективный (газокинетический) диаметр молекул, R{\displaystyle R} — универсальная газовая постоянная. Из формулы видно, что наименьшей теплопроводностью обладают тяжелые одноатомные (инертные) газы, наибольшей — легкие многоатомные (что подтверждается практикой, максимальная теплопроводность из всех газов — у водорода, минимальная — у радона, из нерадиоактивных газов — у ксенона).

Теплопроводность в сильно разреженных газах | код

Приведённое выше выражение для коэффициента теплопроводности в газах не зависит от давления. Однако если газ сильно разрежен, то длина свободного пробега определяется не столкновениями молекул друг с другом, а их столкновениями со стенками сосуда. Состояние газа, при котором длина свободного пробега молекул ограничивается размерами сосуда называют высоким вакуумом. При высоком вакууме теплопроводность убывает пропорционально плотности вещества (то есть пропорциональна давлению в системе): ϰ∼13ρcvlv¯∝P{\displaystyle \varkappa \sim {\frac {1}{3}}\rho c_{v}l{\bar {v}}\propto P}, где l{\displaystyle l} — размер сосуда, P{\displaystyle P} — давление.

Таким образом коэффициент теплопроводности вакуума тем ближе к нулю, чем глубже вакуум. Это связано с низкой концентрацией в вакууме материальных частиц, способных переносить тепло. Тем не менее, энергия в вакууме передаётся с помощью излучения. Поэтому, например, для уменьшения теплопотерь стенки термоса делают двойными, серебрят (такая поверхность лучше отражает излучение), а воздух между ними откачивают.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения задачи переноса теплоты теплопроводностью необходимо знать уравнение, описывающее распределение температур в пространстве и во времени.

Выделим в однородном и изотропном теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz и постоянными параметрами: плотность — р, теплоемкость — Ср, коэффициент теплопроводности — X (рис. 4.2).

Рис. 4.2. К выводу дифференциального уравнение теплопроводности

Тепловой поток, входящий в параллелепипед, можно разложить на три составляющие по направлению осей координат:

Через противоположные грани параллелепипеда выходят тепловые потоки, получающие некоторое приращение температуры и имеющие соответствующие температуры на гранях:

Тогда величина выходящих тепловых потоков составит:

Отсюда приращение количества теплоты в параллелепипеде в направлении осей может быть выражено:

Полное приращение теплоты:

Этот приток теплоты вызовет некоторое повышение температуры

параллелепипеда за время dx на величину —dx. Теплота, расходуемая

дх

на повышение температуры в объеме параллелепипеда, составит

Приравнивая выражения (4.2) и (4.3), получим дифференциальное уравнение теплопроводности:

где а — коэффициент температуропроводности, м2/с.

Для одномерного стационарного температурного поля уравнение (4.4) будет иметь вид

Решим уравнение (4.5) применительно к плоской стенке (рис. 4.3). Интегрируем (4.5):

где Сь С2 — постоянные интегрирования.

Рис. 4.3. К выводу уравнения теплопроводности плоской стенки

Определим эти постоянные из условий:

  • • прих = 0 t = tCT], а следовательно С2 = tCTa;
  • • при х — bt — tCT2, а следовательно

Отсюда:

Подставим (4.6) в (4.1):

или

Для плоской многослойной стенки уравнение (4.7) будет иметь вид

где i — порядковый номер слоя; п — число слоев.

Для цилиндрической стенки длиной I, внутренним радиусом гвн и наружным гн уравнение (4.7) неприменимо, поскольку поверхности стенок не равны друг другу. Запишем закон Фурье для цилиндрической стенки с текущим радиусом г:

где 6 = гнгт, или

Разделим переменные и проинтегрируем:

где tCTl и tCT2 — температуры на внутренней и внешней поверхности стенки.

После интегрирования получим

Отсюда:

или

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток ; F — площадь стенки .

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

— коэффициент теплопроводности.

λ/δ; [Вт/м2*К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м2.К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Литература

На русском языке

  • Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.

На английском языке

Cannon, John Rozier (1984), The One–Dimensional Heat Equation, vol. 23 (1st ed.), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Reading-Menlo Park–London–Don Mills–Sidney–Tokyo/ Cambridge–New York–New Rochelle–Melbourne–Sidney: Addison-Wesley Publishing Company/Cambridge University Press, сс. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2,  .

  • Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
  • John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
  • Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction, Cambridge University Press
  • Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
  • Thambynayagam, R. K. M. (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
  • Perona, P & Malik, J. (1990), «Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion», IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence Т. 12 (7): 629–639

Обобщения закона Фурье[ | код]

Следует отметить, что закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности, то есть в данной модели изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье неприменим для описания высокочастотных процессов (и, соответственно, процессов, чьё разложение в ряд Фурье имеет значительные высокочастотные гармоники). Примерами таких процессов являются распространение ультразвука, ударные волны и т. п. Инерционность в уравнения переноса первым ввел Максвелл, а в 1948 году Каттанео был предложен вариант закона Фурье с релаксационным членом:

τ∂q∂t=−(q+ϰ∇T).{\displaystyle \tau {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}=-\left(\mathbf {q} +\varkappa \,\nabla T\right).}

Если время релаксации τ{\displaystyle \tau } пренебрежимо мало, то это уравнение переходит в закон Фурье.

Закон Фурье.

Внутри тела всегда можно найти совокупность точек, имеющих одинаковую температуру, образующих изотермические поверхности. Изменение температуры по нормали п к изотермической поверхности, получило название температурного градиента (рис. 4.1):

Количество теплоты dQ Дж, передаваемое теплопроводностью через элемент df изотермической поверхности тела за время dx, выражается основным уравнением теплопроводности (закон Фурье):

где X — коэффициент теплопроводности, выражает количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через 1 м2 поверхности за время 1 с при изменении температуры на один градус, на единицу длины нормали к изотермической поверхности. Размерность:

Величина X зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других параметров и определяется опытным путем.

Коэффициенты теплопроводности различных веществ

Цветок на куске аэрогеля над горелкой Бунзена

Материал Теплопроводность, Вт/(м·K)
Графен 4840 ± 440 — 5300 ± 480
Алмаз 1001—2600
Графит 278,4—2435
200—2000
Карбид кремния 490
Серебро 430
Медь 401
Оксид бериллия 370
Золото 320
Алюминий 202—236
Нитрид алюминия 200
Нитрид бора 180
Кремний 150
Латунь 97—111
Хром 107
Железо 92
Платина 70
Олово 67
Оксид цинка 54
Сталь нелегированная 47—58
Свинец 35,3
Сталь нержавеющая (аустенитная) 15
Кварц 8
Термопасты высокого качества 5—12 (на основе соединений углерода)
Гранит 2,4
Бетон сплошной 1,75
Бетон на гравии или щебне из природного камня 1,51
Базальт 1,3
Стекло 1—1,15
Термопаста КПТ-8 0,7
Бетон на песке 0,7
Вода при нормальных условиях 0,6
Кирпич строительный 0,2—0,7
Силиконовое масло 0,16
Пенобетон 0,05—0,3
Газобетон 0,1—0,3
Древесина 0,15
Нефтяные масла 0,12
Свежий снег 0,10—0,15
Пенополистирол (горючесть Г1) 0,038—0,052
Экструдированный пенополистирол (горючесть Г3 и Г4) 0,029—0,032
Стекловата 0,032—0,041
Каменная вата 0,034—0,039
Пенополиизоцианурат (PIR) 0,023
Пенополиуретан (поролон) 0,019-0,035
Воздух (300 K, 100 кПа) 0,022
Аэрогель 0,017
Диоксид углерода (273—320 K, 100 кПа) 0,017
Аргон (273—320 K, 100 кПа) 0,017
Аргон (240—273 K, 100 кПа) 0,015
Вакуум (абсолютный) 0 (строго)

Также нужно учитывать передачу тепла из-за конвекции молекул и излучения. Например, при полной нетеплопроводности вакуума, тепловая энергия передаётся излучением (Солнце, инфракрасные теплогенераторы). В газах и жидкостях происходит перемешивание разнотемпературных слоёв естественным путём или искусственно (примеры принудительного перемешивания — фены, естественного — электрочайники). Также в конденсированных средах возможно «перепрыгивание» фононов из одного твердого тела в другое через субмикронные зазоры, что способствует распространению звуковых волн и тепловой энергии, даже если зазоры представляют собой идеальный вакуум.

Вид уравнения

В пространстве с произвольной системой координат r=(r1,…,rn){\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\ldots ,r_{n})} уравнение теплопроводности имеет вид

∂u∂t−a2Δu=f(r,t),{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(\mathbf {r} ,t),}

где a{\displaystyle a} — положительная константа (число a2{\displaystyle a^{2}} является коэффициентом температуропроводности),
Δ=∇2{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} — оператор Лапласа и f(r,t){\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)} — функция тепловых источников. Искомая функция u=u(r,t){\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)} задает температуру в точке с координатами r{\displaystyle \mathbf {r} } в момент времени t{\displaystyle t}.

В пространстве с декартовыми координатами x=(x1,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} уравнение теплопроводности принимает вид

∂u∂t−a2(∂2u∂x12+∂2u∂x22+⋯+∂2u∂xn2)=f(x,t).{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)=f(x,t).}

Уравнение теплопроводности называется однородным, если f(x,t)≡{\displaystyle f(x,t)\equiv 0}, т.е. система теплоизолирована.

«Виды теплопередачи: теплопроводность, конвекция, излучение»

Теплопередача – это способ изменения внутренней энергии тела при передаче энергии от одной части тела к другой или от одного тела к другому без совершения работы. Существуют следующие виды теплопередачи: теплопроводность, конвекция и излучение.

Теплопроводность

Теплопроводность – это процесс передачи энергии от одного тел а к другому или от одной части тела к дpугой благодаря тепловому движению частиц

Важно, что при теплопроводности не происходит перемещения вещества, от одного тела к другом у или от одной части телa к другой передается энергия

Разные вещества обладают разной теплопроводностью. Если на дно пробирки, наполненной водой, положить кусочек льда и верхний её конец поместить над пламенем спиртовки, то через некоторое время вода в верхней части пробирки закипит, а лёд при этом не растает. Следовательно, вода, так же как и все жидкости, обладает плохой теплопроводностью.

Ещё более плохой теплопроводность ю обладают газы. Возьмём пробирку, в которой нет ничего, кроме воздуха, и расположим её над пламенем спиртовки. Палец, помещённый в пробирку, не почувствует тепла. Следовательно, воздух и другие газы обладает плохой теплопроводностью.

Хорошими проводниками теплоты являются металлы, самыми плохими — сильно разреженные газы. Это объясняется особенностями их строения. Молекулы газов находятся друг от друга на расстояниях, больших, чем молекулы твёрдых тел, и значительно реже сталкиваются. Поэтому и передача энергии от одних молекул к другим в газах происходит не столь интенсивно, как в твёрдых телах. Теплопроводность жидкости занимает промежуточное положение между теплопроводностью газов и твёрдых тел.

Конвекция

Как известно, газы и жидкости плохо проводят теплоту. В то же время от батарей парового отопления нагревается воздух. Это происходит благодаря такому виду теплопроводности, как конвекция.

Если вертушку, сделанную из бумаги, поместить над источником тепла, то вертушка начнёт вращаться. Это происходит потому, что нагретые менее плотные слои воздуха под действием выталкивающей силы поднимаются вверх, а более холодные движутся вниз и занимают их место, что и приводит к вращению вертушки.

Конвекция — вид теплопередачи, при котором энергия передаётся слоями жидкости или газа.  Конвекция связана с переносом вещества, поэтому она может осуществляться только в жидкостях и газах; в твёрдых телах конвекция не происходит.

Излучение

Третий вид теплопередачи — излучение. Если поднести руку к спирали электроплитки, включённой в сеть, к горящей электрической лампочке, к нагретому утюгу, к батарее отопления и т.п., то можно явно ощутить тепло.

Опыты также показывают, что чёрные тела хорошо поглощают и излучают энергию, а белые или блестящие плохо испускают и плохо поглощают её. Они хорошо энергию отражают. Поэтому понятно, почему летом носят светлую одежду, почему дома на юге предпочитают красить в белый цвет.

Путём излучения энергия передаётся от Солнца к Земле. Поскольку пространство между Солнцем и Землёй представляет собой вакуум (высота атмосферы Земли много меньше расстояния от неё до Солнца), то энергия не может передаваться ни путём конвекции, ни путём теплопроводности. Таким образом, для передачи энергии путём излучения не требуется наличия какой-либо среды, эта теплопередача может осуществляться и в вакууме.

Конспект урока «Виды теплопередачи: теплопроводность, конвекция, излучение».

Следующая тема: «Количество теплоты. Удельная теплоёмкость».

4.2. Суточный и годовой ход температуры почвы. Промерзание почвы

Законы Фурье

1. Период колебаний температуры не изменяется с глубиной. Это значит, что не только на поверхности, но и на глубинах остается суточный ход с периодом в 24 часа между каждыми двумя последовательными максимумами или минимумами и годовой ход с периодом в 12 месяцев.
2. Возрастание глубины почвы в арифметической прогрессии приводит к уменьшению амплитуды колебания температуры в геометрической прогрессии. Так, если на поверхности суточная амплитуда равна 30°, а на глубине 20 см – 5°, то на глубине 40 см она уже будет менее 1°.
На некоторой сравнительно небольшой глубине суточная амплитуда убывает до нуля. На этой глубине (около 70-100 см) начинается слой постоянной суточной температуры. Амплитуда годовых колебаний температуры уменьшается по тому же закону. Однако годовые колебания распространяются до большей глубины. Амплитуды годовых колебаний убывают до нуля в средних широтах на глубине около 15-20 м. На этих глубинах начинается слой постоянной годовой температуры.
3. Сроки наступления максимальных и минимальных температур как в суточном, так и в годовом ходе запаздывают с глубиной пропорционально ей. Суточные экстремумы на каждые 10 см глубины запаздывают на 2,5-3,5 часа. Это значит, что на глубине, 50 см суточный максимум наблюдается уже после полуночи. Годовые максимумы и минимумы запаздывают на 20-30 дней на каждый метр глубины.
4. Глубины слоев постоянной суточной и годовой температуры относятся между собой как корни квадратные из периодов колебаний, то есть как 1:3650,5. Это значит, что глубина, на которой затухают годовые колебания в 19 раз больше, чем глубина, на которой затухают суточные колебания.

Законы Фурье достаточно хорошо подтверждаются наблюдениями. С различиями в годовом ходе температуры на разных глубинах связано распределение температуры в почве по вертикали в разные сезоны. Летом температура от поверхности почвы в глубину падает; зимой растет; весной она сначала растет, а потом убывает; осенью сначала убывает, а затем растет.
Замерзание почвы происходит при отрицательной температуре. Почвенная влага содержит различные соли, поэтому почва замерзает не при 0°С, а при -0,5 – -1,5°С. Промерзание начинается с верхних слоев и в течение зимы распространяется в глубь.Глубину промерзания почвы обусловливают: 1) суровость и продолжительность зимы; 2) высота снежного покрова; 3) растительный покров; 4) тепловые свойства почвы; 5) влажность почвы. Весной промерзший слой почвы оттаивает сверху под влиянием прогрева поверхности, а также и снизу за счет прихода тепла от нижележащих слоев.

Скачать полную версию учебника (с рисунками, формулами, картами, схемами и таблицами) одним файлом в формате MS Office Word

Коэффициенты теплопроводности различных веществ

Цветок на куске аэрогеля над горелкой Бунзена

Материал Теплопроводность, Вт/(м·K)
Графен 4840 ± 440 — 5300 ± 480
Алмаз 1001—2600
Графит 278,4—2435
200—2000
Карбид кремния 490
Серебро 430
Медь 401
Оксид бериллия 370
Золото 320
Алюминий 202—236
Нитрид алюминия 200
Нитрид бора 180
Кремний 150
Латунь 97—111
Хром 107
Железо 92
Платина 70
Олово 67
Оксид цинка 54
Сталь нелегированная 47—58
Свинец 35,3
Сталь нержавеющая (аустенитная) 15
Кварц 8
Термопасты высокого качества 5—12 (на основе соединений углерода)
Гранит 2,4
Бетон сплошной 1,75
Бетон на гравии или щебне из природного камня 1,51
Базальт 1,3
Стекло 1—1,15
Термопаста КПТ-8 0,7
Бетон на песке 0,7
Вода при нормальных условиях 0,6
Кирпич строительный 0,2—0,7
Силиконовое масло 0,16
Пенобетон 0,05—0,3
Газобетон 0,1—0,3
Древесина 0,15
Нефтяные масла 0,12
Свежий снег 0,10—0,15
Пенополистирол (горючесть Г1) 0,038—0,052
Экструдированный пенополистирол (горючесть Г3 и Г4) 0,029—0,032
Стекловата 0,032—0,041
Каменная вата 0,034—0,039
Пенополиизоцианурат (PIR) 0,023
Пенополиуретан (поролон) 0,019-0,035
Воздух (300 K, 100 кПа) 0,022
Аэрогель 0,017
Диоксид углерода (273—320 K, 100 кПа) 0,017
Аргон (273—320 K, 100 кПа) 0,017
Аргон (240—273 K, 100 кПа) 0,015
Вакуум (абсолютный) 0 (строго)

Также нужно учитывать передачу тепла из-за конвекции молекул и излучения. Например, при полной нетеплопроводности вакуума, тепловая энергия передаётся излучением (Солнце, инфракрасные теплогенераторы). В газах и жидкостях происходит перемешивание разнотемпературных слоёв естественным путём или искусственно (примеры принудительного перемешивания — фены, естественного — электрочайники). Также в конденсированных средах возможно «перепрыгивание» фононов из одного твердого тела в другое через субмикронные зазоры, что способствует распространению звуковых волн и тепловой энергии, даже если зазоры представляют собой идеальный вакуум.

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Максим Иванов
Наш эксперт
Написано статей
129
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации